viernes, 7 de septiembre de 2018

Cambio de grados a Radianes, Medidas de angulos, Reduccion de Angulos

Cómo convertir de grados a radianes

Los grados y los radianes son dos unidades para la medición de ángulos. Un círculo tiene 360 grados, que equivale a 2π radianes, de modo que 360° y 2π radianes representan el valor numérico de "una vuelta" a un círculo. ¿Parece confuso? No te preocupes, ya que puedes convertir grados a radianes o radianes a grados con algunos pasos muy simples.


Pasos: 
  1. Imagen titulada Convert Degrees to Radians Step 1
    1
    Escribe el número de grados que quieras convertir a radianes. Aquí tienes unos ejemplos para que entiendas bien:
    • Ejemplo 1: 120°
    • Ejemplo 2: 30°
    • Ejemplo 3: 225°
  2. Imagen titulada Convert Degrees to Radians Step 2
    2
    Multiplica los grados por π/180. Para entender por qué debes hacer este cálculo, tienes que saber que 180° equivalen a 1π radián. Por eso, 1 grado equivale a (π/180) radianes. Ahora que sabes esto, multiplica los grados por π/180 para convertir grados a radianes. Puedes quitar el símbolo de los grados, ya que expresarás el resultado en radianes. Esta es la manera de hacerlo:
    • Ejemplo 1: 120 x π/180
    • Ejemplo 2: 30 x π/180
    • Ejemplo 3: 225 x π/180
  3. Imagen titulada Convert Degrees to Radians Step 3
    3
    Realiza el cálculo. Multiplica los grados por π/180. Piensa en ello como en la multiplicación de dos fracciones: la primera fracción tiene los grados como numerador y "1" como denominador, mientras que la segunda fracción tiene π como numerador y 180 como denominador. Así es cómo debes hacer el cálculo:
    • Ejemplo 1: 120 x π/180 = 120π/180
    • Ejemplo 2: 30 x π/180 = 30π/180
    • Ejemplo 3: 225 x π/180 = 225π/180
  4. Imagen titulada Convert Degrees to Radians Step 4
    4
    Simplifica. Ahora tienes que reducir la fracción al mínimo para obtener el resultado final. Encuentra el número más grande que pueda dividirse equitativamente entre el numerador y el denominador de cada fracción, y simplifica. El número más grande para el ejemplo 1 es 60; para el segundo, 30; y para el tercero, 45. No es necesario que sepas este número de una sola vez. Puedes probar dividir el numerador y denominador por 5, 2, 3, o cualquier número que sea divisor de ambos números. Así es cómo debes hacerlo:
    • Ejemplo 1: 120 x π/180 = 120π/180 ÷ 60/60 = 2/3π radianes
    • Ejemplo 2: 30 x π/180 = 30π/180 ÷ 30/30 = 1/6π radianes
    • Ejemplo 3: 225 x π/180 = 225π/180 ÷ 45/45 = 5/4π radianes
  5. Imagen titulada Convert Degrees to Radians Step 5
    5
    Escribe la respuesta. Para no equivocarte, escribe la medida del ángulo en radianes. ¡Terminaste! Así es cómo debes hacerlo:
    • Ejemplo 1: 120° = 2/3π radianes
    • Ejemplo 2: 30° = 1/6π radianes
    • Ejemplo 3: 225° = 5/4π radianes
    • https://es.wikihow.com/convertir-de-grados-a-radianes

    Medida de ángulos en grados, minutos y segundos

    Lo que caracteriza a un ángulo es la apertura de sus lados . Por lo tanto es natural preguntarse cómo se mide tal apertura. Para medir un ángulo lo que se hace es compararlo con otro que se toma como unidad.
    La unidad de medida de ángulo más usual es el grado sexagesimal, que consiste en  del ángulo completo. La medida de un ángulo en grados sexagesimales se designa mediante el símbolo .
    Ejemplo
    Un ángulo de  es aquel que tiene como apertura  veces una apertura de un grado (la unidad).
    Para hacernos una idea, un grado corresponde a la apertura siguiente:
    imagen
    Así, para un ángulo completo, que corresponde a una vuelta completa se tienen  ( grados). Es decir:
    imagen
    Como se puede observar en el dibujo, una vuelta completa se divide en  partes, cada una de ellas es un grado y se designa como . Así pues, un ángulo completo son , un ángulo llano son  y un ángulo recto son . Los ángulos agudos tienen menos de  y los obtusos más de , pero menos de .
    En función de su amplitud, además podemos dar nombre a algunos ángulos específicos.
    • Ángulos congruentes son aquellos que tienen la misma amplitud,
    • Ángulos complementarios aquellos cuya suma de medidas es ,
    • Ángulos suplementarios aquellos cuya suma de medidas es ,
    • Ángulos conjugados aquellos cuyas medidas suman .
    Ejemplo
    Un ángulo de  tiene como complementario un ángulo de , como suplementario uno de  y como conjugado uno de .
    Pero, ¿qué pasa cuando tenemos un ángulo menor que ?
    Para poder hablar de ángulos que miden menos que , se consideran submúltiplos del grado. De manera que nos ahorramos trabajar con expresiones del tipo:
    • Este ángulo mide medio grado
    • Este ángulo mide  grados
    Así pues, el grado sexagesimal tiene submúltiplos: éstos son el minuto y el segundo. El minuto se designa  y el segundo .
    Ejemplo
    La medida de un ángulo en grados, minutos y segundos sería, por ejemplo, . Se leería: un ángulo de  grados,  minutos y  segundos.
    Veamos exactamente qué valen los minutos y los segundos.
    • Un minuto es el resultado de tomar un grado y dividirlo en  partes iguales. Es decir, matemáticamente se expresa:  minuto  por lo tanto  minutos .
    • Un segundo es el resultado de tomar un minuto y dividirlo en  partes iguales. Es decir, matemáticamente se expresa:  segundo  y por lo tanto  segundos  minuto.
    Con estas equivalencias veamos cuánto vale un grado en segundos:

    Para pasar de grados a minutos y segundos trabajaremos siempre mediante factores de conversión. Esto significa que utilizaremos el siguiente método:
    Ejemplo
    Queremos escribir  en minutos y  en segundos.

    Es decir, sabemos que  minutos , por lo que  y mediante este factor de conversión pasamos de grados a minutos.
    Lo mismo en el caso de segundos, sabiendo que , si pasamos a dividir el término de la derecha al otro lado queda:  que es el factor de conversión para pasar de minutos a segundos. Así,
    Por último, veremos algún ejemplo que nos permita expresar cantidades dadas en segundos o minutos en grados.
    Ejemplo
    Si tenemos  segundos, entonces tenemos:

    Si lo queremos expresar en grados:

    Midiendo ángulos dibujados

    Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina o el transportador de ángulos.
    El más común es el transportador de ángulos que es una herramienta de dibujo que permite, además de medir, construir ángulos.
    Consiste en un semicírculo graduado con el que se pueden medir ángulos de hasta .
    imagen

REDUCCIÓN DE UN ÁNGULO

Introducción
Un ángulo puede estar situado en cualquiera de los cuatro cuadrantes de la circunferencia. Los valores de sus correspondientes razones trigonométricas dependen de su posición.
Cuando un ángulo se encuentra situado en el segundo, tercero o cuarto cuadrante siempre es posible relacionarlo con otro del primer cuadrante cuyas líneas trigonométricas tengan los mismos valores absolutos.
Las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos situados en los distintos cuadrantes resultaba esencial cuando no se disponía de calculadoras. Existían tablas con los valores de las razones para ángulos del primer cuadrante. Los demás ángulos no figuraban en la tabla pues no era necesario: bastaba con reducirlo al primer cuadrante.
No obstante el tema sigue siendo de interés para aplicar las razones trigonométricas inversas, es decir, para determinar un ángulo conocida una de sus razones trigonométricas. Como sabemos, si buscamos un ángulo a partir de una razón trigonométrica, la calculadora nos proporciona sólo una solución. Nosotros encontraremos el resto de soluciones con los conocimientos adquiridos en esta unidad.
Trabajaremos con circunferencias goniométricas, es decir, de radio 1.
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Ángulos suplementarios son los que suman 180º. Si el valor de un ángulo es "A", el valor del suplementario será "180º-A".
La relación de las razones trigonométricas de un ángulo con las de su suplementario va a permitir "reducir" ángulos del segundo al primer cuadrante.
Como puede observarse en la figura, los triángulos OMA y ON(180º-A) son iguales ya que siendo rectángulos tienen igual la hipotenusa (es el radio) y un ángulo agudo: ángulo AOM = ángulo (180º-A)ON
En consecuencia
sen (180º-A) = segmento (180º-A)N = segmento AM = sen A
cos(180º-A) = segmento ON = - segmento OM = - cos A
y haciendo el cociente de seno entre coseno:
tg (180º-A) = sen (180º-A)/cos(180º-A) = sen A / - cos A = - tg A

En conclusión, las relaciones existentes entre las razones trigonométricas de ángulos suplementarios son:
sen (180º-A) = + sen A
cos(180º-A) = - cos A
tg (180º-A) = - tg A
EJERCICIOS
§§§ Dado el ángulo 127º reducirlo al primer cuadrante.SOLUCIÓN:
El ángulo 127º se encuentra en el segundo cuadrante. Su suplementario es 180º - 127º = 53º, tenemos entonces
sen 127º = sen 53º; cos 127º = - cos 53º; tg 127º = - tg 53º
§§§ Dados los ángulos 135º, 133.45º, 109,5º reducirlos al primer cuadrante.
§§§ Sabiendo que el sen A = 0,5 obtener los valores posibles para A.SOLUCIÓN:
Al ser el seno positivo, A puede ser del primer o del segundo cuadrante.
sen A = 0,5 entonces A = arcsen 0,5 = 30º
Las soluciones son A = 30º y su suplementario A = 150º
§§§ Sabiendo que el sen A = 0,85 obtener los valores posibles para A§§§ Sabiendo que el sen A = 0,12 obtener los valores posibles para A
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE SE DIFERENCIAN EN 180º
Si el valor de un ángulo es "A", el valor del otro ángulo que se diferencia en 180º será "180º+A".
La relación de las razones trigonométricas de un ángulo A con las de 180º+A va a permitir "reducir" ángulos del tercer al primer cuadrante.
Como puede observarse en la figura, los triángulos OMA y ON(180º+A) son iguales ya que siendo rectángulos tienen la hipotenusa y un ángulo agudo: ángulo AOM = ángulo (180º-A)ON
En consecuencia
sen (180º+A) = segmento (180º+A)N = - segmento AM = - sen A
cos(180º+A) = segmento ON = - segmento OM = - cos A
y haciendo el cociente de seno entre coseno
tg (180º+A) = sen (180º+A)/cos(180º+A) = - sen A / - cos A = tg A

En conclusión, las relaciones existentes entre las razones trigonométricas de ángulos que se diferencian 180º son:
sen (180º+A) = - sen A
cos(180º+A) = - cos A
tg (180º+A) = + tg A


EJERCICIOS
§§§ Dado el ángulo 215º reducirlo al primer cuadranteSOLUCIÓN:
El ángulo 215º se encuentra en el tercer cuadrante. Este ángulo se diferencia 180º con 215º - 180º = 35º , tenemos entonces
sen 215º = - sen 35º; cos 215º = - cos 35º; tg 215º = tg 35º
§§§ Dados los ángulos 235º, 233.45º, 199,5º reducirlos al primer cuadrante
§§§ Sabiendo que el tg A = 1 obtener los valores posibles para ASOLUCIÓN:
Al ser la tg positiva, A puede ser del primer o del tercer cuadrante.
tg A = 1, entonces A = arctg 1 = 45º
Las soluciones son A = 45º y A = 135º
§§§ Sabiendo que el tg A = - 0,75 obtener los valores posibles para A§§§ Sabiendo que el tg A = 0,50 obtener los valores posibles para A
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS
Si el valor de un ángulo es "A", el valor de su opuesto es obviamente -A
La relación de las razones trigonométricas de un ángulo A con las de su opuesto -A va a permitir "reducir" ángulos del cuarto al primer cuadrante.
Como puede observarse en la figura, los triángulos OMA y ON(-A) son iguales ya que siendo rectángulos tienen igual la hipotenusa (OA = O(-A)) y un ángulo agudo: ángulo AOM = ángulo (-A)ON = A
En consecuencia
sen (-A) = segmento (-A)N = - segmento MA = - sen A
cos(-A) = segmento ON = segmento OM = cos A
y haciendo el cociente de seno entre coseno
tg (-A) = sen (-A)/cos(-A) = - sen A / cos A = - tg A

En conclusión, las relaciones existentes entre las razones trigonométricas de ángulos opuestos son:
sen (-A) = - sen A
cos(-A) = - cos A
tg (-A) = + tg A


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